间隔重复（Spaced Repetition）学习理论基础

Piotr Wozniak, 1990-2000

本文改编自 P.A.Wozniak 的 Optimization of learning ： Simulation of the learning process conducted along the SuperMemo schedule （1990年），并根据修订后的数据进行了更新（原文包含与遗忘速率相关的其他图表，由于模拟模型实现中的一个错误，该遗忘速率被严重高估）

重要！ 关于间隔重复的最新资料，请参见：“学习中间隔重复的理论方面”。

本文旨在帮助你规划学习，并更好地理解你一生学习新知识的能力上限。文中大部分数据和公式都是通过理论推导得出的。然而，在过去十年中，这些理论构想已通过实际学习过程中的精确测量得到多次验证

一个简单的模拟模型可以预测基于间隔重复的长期学习过程的结果。每次复习时的遗忘概率由 遗忘指数 决定。通过使用 间隔重复算法 以及元素难度的真实分布（A-因子分布），就可以通过计算机模拟来预测多年的学习进程（请注意，你可以在 SuperMemo 98 及更高版本 中使用 工具：统计：模拟 功能，基于你自己的真实学习数据运行类似的模拟）

该模拟模型基于以下假设：

1. 学习按照标准的重复间隔算法进行（例如 SM-11算法）
2. A-因子呈钟形分布，该分布取自使用 SuperMemo 创建的通用知识系统
3. 最优因子矩阵取自一个通用知识系统，并且在整个学习过程中保持不变
4. 在每次复习中，由遗忘指数确定的一定比例的条目会被视为已遗忘，并在不改变其A-因子的情况下重新进入学习流程

上述假设消除了在估算长期学习过程结果时可能遇到的以下问题：

1. 个体记忆能力的差异可以完全通过A-因子的分布来体现（见第2点）。毕竟，同一个知识系统若被更擅长记忆的学生使用，其A-因子中较高值的比例也会更大
2. 所学材料难度的差异，同样可以完全通过A-因子的分布来体现（见第2点）
3. 大脑因训练而产生的记忆能力变化，可通过使用恒定的A-因子分布来忽略（见第2点）
4. 大脑记忆能力随年龄增长而产生的变化，可以通过使用固定不变的最优因子矩阵来忽略（见第3点）。只有在病理性过程或缺乏训练的情况下，才会观察到随年龄增长而出现的明显记忆力下降（Restak 1984）。否则，经过训练后，大脑的记忆能力很可能会随年龄增长而提高！

为方便描述，在以下段落中我将使用 通用材料 这一术语，指的是A-因子呈典型分布的学习材料。需要注意的是，这一术语也反映了学生的记忆能力，因为优秀学生的学习集合中往往会呈现出更高比例的高A-因子。

以下是基于上述模型的模拟实验中可以得出的简要结论总结：

• 使用该模型得出的学习曲线，除最初阶段外，几乎呈线性（见 图1）

图1 通用材料在遗忘指数为10%、每日学习时间为1分钟情况下的学习曲线

• 在长期学习过程中，当遗忘指数为10%时，通用材料的平均学习速率约为每年每分钟200-300个条目，也就是说，每天学习一分钟，一年可掌握200-300个条目。SuperMemo用户报告的平均学习速率通常在每年每分钟50-2000个条目之间
• 对于通用材料，每天学习一分钟时，各年份中记住的条目数量可用以下公式近似计算：

NewItems=aar*(3*e^{– 0.3*year}+1)

+1)

• 其中：
  • NewItems ——每天学习一分钟时，各年份中记住的条目数量，
  • year ——年份的序号，
  • aar ——渐近习得率，即经过多年复习后达到的最低学习速率（通常约为每年每分钟200个条目）

• 去除通用材料中最难的10%的条目，可使学习速度提高多达300%。遗忘指数越低，这种提升幅度就越大。
• 在长期学习过程中，当遗忘指数为10%且每日学习时间固定时，用于记忆新条目的平均时间仅占复习总时间的5%。这一比例几乎与学习材料的规模无关
• 根据本模型所述的学习方法，人脑一生中获取新知识的最大容量估计不超过几百万个条目。
• 对于通用材料，在遗忘指数约为10%的情况下，每个条目每日所需复习时间的函数可用以下公式粗略近似：

time = 1/500 * year^-1.5 + 1/30000

• 其中：
  • time ——某一年中每个条目每日平均复习时间（单位：分钟），
  • year ——学习过程的年份。
• 由于单个条目复习所需的时间几乎与所学材料的总规模无关，上述公式可用于近似估算任意规模学习材料的工作量。
  例如，一个包含3000个条目的集合，在第一年的总工作量为 3000/500*1+3000/30000=6.1（分钟/天）。

图2 在遗忘指数为10%的情况下，包含3000个条目的通用学习材料每日工作量（单位：分钟）

• 遗忘指数与知识保持率之间的关系可用以下公式精确表示：
  • Retention = –FI/ln(1-FI)
  • Retention ——以小数（0..1）表示的总体知识保持率，
  • FI——以小数表示的遗忘指数（遗忘指数等于1减去复习时的知识保持率）。

• 最优间隔的总体增幅在遗忘指数约为20%时达到最大。这里的总体增幅已考虑到已遗忘条目的最优间隔会缩短这一事实。因此，当遗忘指数超过20%时，由 间隔效应 带来的长间隔对记忆的积极作用，会被数量不断增加的遗忘条目所抵消。
• 当遗忘指数约为20-30%时，可获得 最高的总体知识习得速率 （见 图3）。这是因为随着遗忘指数的提高，复习工作量的减少与重新学习工作量的增加之间存在权衡。换言之，较高的遗忘指数会带来更长的间隔，但这一收益会被因遗忘条目增多而产生的额外重新学习工作量所抵消。

图3 知识习得速率与遗忘指数的关系

• 当遗忘指数降至5%以下时，复习工作量会迅速增加（见 图3）。在实际学习中，建议使用的遗忘指数为6-14%。

图4 知识保持率（遗忘指数）与工作量（一万天内平均每个条目的复习次数）之间的权衡

• 与等间隔复习计划相比，在遗忘指数为10%的情况下，经过50年，本模型可使知识习得速度（即学习速度）提高约50倍
• 在长期学习过程中，50%的复习量集中在占比2.5%的短间隔学习材料上（这是实际学习过程的测量数据）。这一数字在实践中差异很大，对于结构不佳的学习材料，甚至更小比例的条目也可能占据大部分学习时间。SuperMemo用户可以使用SuperMemo的统计工具自行验证这一数字。实际数值将在很大程度上取决于记忆新材料的强度。以下示例取自一个长达10年的学习过程：

• 下表展示了不同遗忘次数的材料在复习上所花费时间的比例（实际学习过程测量数据）：

• 下图展示了在一次性使用重新调度算法（工具： Mercy）后，实测遗忘指数的实际恢复情况，该次重新调度周期约为20天。要求的平均遗忘指数为10%。实测遗忘指数在重新调度时被重置，恢复复习后不久便超过了13%。实测遗忘指数在经过7个月的复习后，才回落到11%的水平